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Análisis Matemático 66

2025 GUTIERREZ (ÚNICA)

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ANÁLISIS MATEMÁTICO 66 CBC
CÁTEDRA GUTIERREZ (ÚNICA)

Práctica 6: Teorema del Valor Medio

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7. Calcule los siguientes límites
d) lim⁡x→+∞xe−x\lim _{x \rightarrow+\infty} xe^{-x}

Respuesta

Queremos calcular este límite:

lim⁡x→+∞xe−x\lim _{x \rightarrow+\infty} xe^{-x}

Atenti, acá tenemos una indeterminación de tipo "cero por infinito". La clave para resolver estas indeterminaciones usando L'Hopital es, primero, escribirla como un cociente, para transformarla en una indeterminación de tipo "cero sobre cero" o "infinito sobre infinito". Fijate que, usando reglas de potencias, podemos reescribir este límite como:

lim⁡x→+∞xe−x=lim⁡x→+∞xex\lim _{x \rightarrow+\infty} xe^{-x} = \lim _{x \rightarrow+\infty} \frac{x}{e^x}

Y ahora si, esto es un "infinito sobre infinito" y podemos aplicar L'Hopital:

lim⁡x→+∞1ex=0\lim _{x \rightarrow+\infty} \frac{1}{e^x} = 0

Y listo! 😊
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